Forum Studentów Wyższej Szkoły Humanistyczno-Ekonomicznej w Łodzi - wydział w Bydgoszczy

Forum Studentów Wyższej Szkoły Humanistyczno-Ekonomicznej w Łodzi wydział zamiejscowy w Bydgoszczy
Studia II stopnia - I rok - Zarządzanie

  • Nie jesteś zalogowany.
  • Polecamy: Komputery

#1 2008-12-15 19:04:38

Starosta do 12 marca 2009

Moderator

Zarejestrowany: 2008-10-28
Posty: 66
Punktów :   

Materiały przesłane przez wykładowcę ze "Statystyki"

Szeregi statystyczne

Szereg statystyczny – to ciąg wartości liczbowych badanej cechy, uporządkowanych według określonych kryteriów (np.: rosnąco lub malejąco).

I.    Szereg prosty – przedstawia materiał statystyczny uporządkowany wyłącznie według wartości badanej cechy. Porządkowanie polega tu na wypisywaniu wartości liczbowych w kolejności rosnącej lub malejącej.
II.    Szereg rozdzielczy (strukturalny) – to ciąg wartości liczbowych uporządkowanych według wariantów badanej cechy mierzalnej lub niemierzalnej. Poszczególnym wariantom zmiennej przyporządkowane są odpowiadające im liczebności.
Szereg rozdzielczy cechy niemierzalnej jest zestawieniem poszczególnych wariantów danej cechy i odpowiadających im liczebności.

Tabela 1. Pracownicy przedsiębiorstwa X według poziomu wykształcenia w lipcu 2005 r.
Poziom wykształcenia    Liczba pracowników
Podstawowe    13
Średnie    62
Wyższe    25
Ogółem    100
Źródło: dane umowne.

Szereg rozdzielczy cechy mierzalnej, jej warianty można określić punktowo lub przedziałowo.
Szeregi rozdzielcze punktowe buduje się dla zmiennej skokowej.
Liczba stomatologów    0    1    2    3    4
Liczba gmin    12    18    31    19    16

Szeregi rozdzielcze przedziałowe dotyczą cechy ciągłej. W tym przypadku należy najpierw ustalić liczbę przedziałów klasowych (klas), ich rozpiętość oraz sposób oznaczania granic przedziałów.
    Liczba klas:
            k 5logN,
            k 
            k= 1+3,222logN
gdzie: k- liczba przedziałów klasowych,
           N- liczebność badanej zbiorowości.

Rozpiętość przedziału (interwał) – to różnica między górną a dolną wartością przedziału klasowego. Rozpiętości przedziałów mogą być równe lub różne.
            C=  ,    lub    C= 
            gdzie: c- rozpiętość przedziału klasowego
R- obszar zmienności cechy (tj. różnica między największą i najmniejszą wartością cechy).

Granice przedziałów klasowych: dolna granica następnego przedziału równa jest górnej granicy przedziału poprzedniego (np. 2-4; 4-6; 6-8 itd.) lub też granice te różnią się (np.: 2-4; 5-7; 8-10 itd.).

III.    Kumulacyjne szeregi rozdzielcze – otrzymuje się w drodze łączenia kolejnych przedziałów klasowych i dodawania odpowiadających im liczebności.

IV.    Szeregi geograficzne – przedstawiają rozmieszczenie wielkości statystycznych według jednostek administracyjnych kraju (gmin, powiatów, województw), części świata, regionów gospodarczych itp.

V.    Szeregi czasowe -  prezentują rozwój zjawiska w czasie, przy czym może być tu uwzględniony ściśle określony moment lub pewien przedział.

Ćwiczenia 1.
MIARY ŚREDNIE

1. Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna jest ilorazem sumy wartości zmiennej i liczebności badanej zbiorowości. Jest to średnia arytmetyczna nieważona (prosta, zwykła).



gdzie: xi – wartość cechy zaobserwowana  i-tej jednostki;
            n – liczba jednostek w zbiorowości;
             - wartość średnia.

PRZYKŁAD:

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA
Tabela 1. Liczba punktów sprzedaży firmy „Multibra” w 40 miastach Polski

2,1,1,2,2,3,4,3,2,1,1,1,2,2,3,3,2,4,1,1,1,2,3,2,1,1,2,1,1,3,4,2,1,1,2,3,2,4,2,1



Tabela 2. Rachunek średniej arytmetycznej liczby punktów sprzedaży firmy „Multibra”
xi    ni    xi ni
1
2
3
4    15
14
7
4    15
28
21
16
Razem    40    80

Odpowiedź: Średnia liczba punktów sprzedaży firmy „Multibra” w 40 miastach Polski wynosi 2.




2. Średnia arytmetyczna ważona

Obliczana jest dla szeregów rozdzielczych punktowych i przedziałowych. Stosuje się ją, gdy warianty zmiennej w badanej zbiorowości występują z różną częstotliwością. Wagami są liczebności odpowiadające poszczególnym wariantom zmiennej.

Średnia arytmetyczna z szeregów rozdzielczych punktowych:



gdzie: ni (i=1,2,...,k) – liczebność jednostek odpowiadająca poszczególnym wariantom zmiennej
            N – ogólna liczebność badanej zbiorowości (N=n1+n2+...+nk)

Średnia arytmetyczna z szeregów rozdzielczych przedziałowych:



Wartości zmiennej w każdej klasie nie są jednoznacznie określone, ale zawarte są w przedziale od – do. Dolną granicę przedziału klasowego oznaczać będziemy symbolem xoi, górną zaś – x1i. W celu obliczenia średniej arytmetycznej z szeregu rozdzielczego przedziałowego należy uprzednio wyznaczyć środki przedziałów. Środki przedziałów klasowych – oznaczone symbolem xi – obliczamy:



Jeżeli zamiast liczebności absolutnych w obliczeniach zostaną wykorzystane procentowe wskaźniki częstości, to wzór na średnią arytmetyczną przyjmuje postać:



gdzie: 





PRZYKŁAD:

Rozkład czasu trwania obsługi w banku X (w minutach)

Xoi-x1j    ni    Obliczenia pomocnicze
        xi    xini    wi 100    xiwi
0-5    8    2,5    20,0    20,0    50,00
5-10    20    7,5    150,0    50,0    375,00
10-15    11    12,5    137,5    27,5    343,75
15-20    1    17,5    17,5    2,5    43,75
Ogółem    40    x    325,0    100,0    812,50




Często zdarza się, że znamy średnie arytmetyczne dla pewnych grup i na tej podstawie chcemy obliczyć średnią arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie. Stosujemy wtedy następujący wzór:



gdzie: xi  - to średnia arytmetyczna i-tej grupy;
           ni – liczebności i-tej grupy (N= n1+n2+...+nk).


3. Średnia harmoniczna

Jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych.

H=

Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych (punktowych i przedziałowych) zachodzi konieczność stosowania wag.

Z szeregów rozdzielczych punktowych średnią harmoniczną obliczamy:



gdzie:  - średnia harmoniczna
           xi – wartości cechy statystycznej
           ni – liczebność odnosząca się do wartości cechy xi
           k – liczba kategorii cechy statystycznej

Z szeregów rozdzielczych przedziałowych średnią harmoniczną obliczamy z tego samego wzoru, ale konkretne warianty cechy (xi) zastępujemy środkami przedziałów klasowych ( ).

Średnią harmoniczną stosuje się wówczas, gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych („łamanych”), np.: km/godz., kg/osobę, wagi zaś – w jednostkach liczników tych jednostek względnych. Np.: prędkość pojazdu (km/godz.); gęstość zaludnienia (mieszkańcy/km2, spożycie artykułu X na głowę ludności (kg/osobę).


PRZYKŁAD:
ŚREDNIA HARMONICZNA
Kierowca przejechał w kolejnych dniach tygodnia następujące odległości:
w poniedziałek – 360 km, z przeciętną prędkością 60 km/h;
we wtorek – 420 km, z przeciętną prędkością 84 km/h;
w środę - 400 km, z przeciętną prędkością 80 km/h;
w czwartek – 480 km, z przeciętną prędkością 80 km/h;
w piątek - 420 km, z przeciętną prędkością 70 km/h.

Tabela 1. Rozkład prędkości jazdy według przejechanej odległości

Odległość    Prędkość jazdy w km/h
360
420
400
480
420    60
84
80
80
70



 

4. Średnia geometryczna

Jest pierwiastkiem k-tego stopnia z iloczynu k zmiennych. Średnia geometryczna znajduje zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk, których rozwój przedstawiony jest w postaci szeregów dynamicznych.



gdzie: 
          xj – wartość cechy statystycznej w j-tym okresie;
          k – liczba indeksów.


PRZYKŁAD:
ŚREDNIA GEOMETRYCZNA
Kierowca przejechał w kolejnych dniach tygodnia następujące odległości:
w poniedziałek – 360 km, z przeciętną prędkością 60 km/h;
we wtorek – 420 km, z przeciętną prędkością 84 km/h;
w środę - 400 km, z przeciętną prędkością 80 km/h;
w czwartek – 480 km, z przeciętną prędkością 80 km/h;
w piątek - 420 km, z przeciętną prędkością 70 km/h.
Dynamikę jazdy kierowcy w poszczególnych dniach tygodnia opisuje ciąg indeksów:
, co oznacza, że we wtorek, w porównaniu z poniedziałkiem, prędkość jazdy wzrosła o 40%.
, co oznacza, że we środę, w porównaniu z wtorkiem, 8 prędkość jazdy spadła o 5%.
, co oznacza, że we czwartek, w porównaniu do środy, prędkość jazdy nie zmieniła się.
, co oznacza, że w piątek, w porównaniu z czwartkiem, prędkość jazdy spadła o 12,5%.

,
co oznacza, że prędkość jazdy z dnia na dzień wzrastała średnio o 4%.
1. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO LICZENIA
1.1.    W pewnym mieście badano zbiorowość sklepów spożywczych ze względu na powierzchnię użytkową w m2. Otrzymano następujące wyniki:

70    62    65    68    71    75
67    78    72    74    91    80
81    67    74    96    77    54
83    52    64    68    85    99
57    52    56    70    63    61

Utworzyć szereg rozdzielczy przedziałowy o interwale równym 8 m2. Obliczyć – za pomocą średniej arytmetycznej – przeciętną powierzchnię sklepu spożywczego.
1.2.    Poniższy szereg rozdzielczy skumulowany przedstawia powierzchnię (w m2) 70 magazynów:

Powierzchnia magazynu    Skumulowana liczebność magazynów
Poniżej 50    8
Poniżej 80    20
Poniżej 110    45
Poniżej 140    65
Poniżej 170    70

Obliczyć średnią arytmetyczną powierzchni magazynu, jeżeli najmniejszy jest magazyn o powierzchni 20 m2.
1.3.    Oblicz średnią arytmetyczną liczby nieobecności na zajęciach z matematyki w semestrze zimowym w 25-osobowej grupie studenckiej mając następujące informacje:

Liczba studentów    Liczba nieobecności
w semestrze zimowym
7    0
10    1
4    2
1    3
1    4
2    5

1.4.    Struktura zatrudnienia według wieku w spółce X w pewnym miesiącu przedstawiała się następująco:

Wiek pracowników (w latach)    poniżej 20    21-30    31-40    41-50    51-60    powyżej 60
Udział pracowników (w %)    3    23    27    31    10    6

Oblicz średnią arytmetyczną wieku zatrudnionych w tej spółce. Z ilu osób składa się cała załoga spółki, jeśli wiadomo, że 36 osób przekroczyło 60 rok życia? Za dolną granicę pierwszego przedziału przyjąć 18 lat, natomiast za górną granicę ostatniej klasy 70 lat.






Ćwiczenia 2.

DOMINANTA – ŚREDNIA CZĘSTOŚCIOWA

    Dominanta jest tą wartością cechy, która występuje najczęściej (dominuje) w badanej zbiorowości. Interpretuje się ją jako wartość typową. Dla określenia, jaka wartość cechy występuję z największą częstotliwością, niezbędne jest pogrupowanie materiału statystycznego, dlatego dominantę można wyznaczyć j4edynie dla szeregów rozdzielczych. W szeregu rozdzielczym strukturalnym i w szeregu rozdzielczym punktowym dominantą jest wartość cechy, przy której znajduje się największa liczebność 

Przykład:


Przedział i    Liczba nieobecności w semestrze xi    Liczba studentów ni
1    0    10
2    1    12
3    2    8
4    3    3
5    4    1
6    5    1
x    
35

    W analizowanym szeregu prezentującym rozkład liczby nieobecności studentów na zajęciach ze statystyki największa liczebność   występuje w drugim przedziale, gdzie wartość cechy  , a zatem D=1. Studenci najczęściej byli nieobecni jeden raz w semestrze.

    W szeregu rozdzielczym przedziałowym dominanta jest to wartość cechy, wokół której oscyluje największa liczba obserwacji. Ustala się ją drogą interpolacji (szacunku) w granicach przedziału skupiającego największą liczbę obserwacji. Wyznaczając dominantę, w pierwszej kolejności odnajdujemy przedział najliczniejszy  , a następnie obliczamy jej wartość posługując się wzorem interpolacyjnym:



gdzie:
  - dolna granica przedziału najliczniejszego;
  - liczebność przedziału najliczniejszego;
- liczebność przedziału poprzedzającego przedział najliczniejszy;
- liczebność przedziału następującego po przedziale najliczniejszym;
  - rozpiętość przedziału najliczniejszego.

    Konstrukcja wzoru opiera się na proporcjach między liczebnościami trzech przedziałów: najliczniejszego  , poprzedniego   oraz następnego   Niezbędnym warunkiem jest to, aby rozpiętości   tych przedziałów były jednakowe. Ponieważ wartość dominanty jest większa od dolnej granicy przedziału  , toteż wielkość ta stanowi punkt wyjścia do obliczeń.

Przykład:

Wyznaczyć dominantę w rozkładzie powierzchni sklepów w Bydgoszczy:

Powierzchnia w m2

Liczba sklepów


30-49,9    9
50-69,9    19
70-89,9    23
90-109,9                                              14    przedział dominanty
110-129,9    9
130-149,9    7

Stwierdzamy, że najliczniej jest reprezentowany przedział 70-89,9 m2. Dolna granica tego przedziału  , liczebność przedziału najliczniejszego  , liczebności sąsiednich przedziałów  ,  . Rozpiętości przedziałów są jednakowe i wynoszą c=20.



    Dominująca, czyli najczęściej spotykana powierzchnia sklepów, wynosi 76,2 m2 tzn. najwięcej sklepów skupia się wokół tej wartości. Przeprowadzając kontrolę logiczną otrzymanego wyniku, stwierdzamy, że 70<D<89,9, a zatem wyznaczona wartość dominanty mieści się w przedziale najliczniejszym.




MEDIANA – ŚREDNIA POZYCYJNA

    Mediana, czyli wartość środkowa, jest średnią pozycyjną. Jest to wartość cechy, jaką posiada jednostka znajdująca się w środku uporządkowanego szeregu. Zgodnie z powyższym mówimy, że połowa zbiorowości ma wartości cechy nie większe (tzn. mniejsze lub równe) niż mediana, a druga połowa – nie mniejsze (tzn. równe lub większe).
    Wyznaczając medianę w szeregu szczegółowym, porządkujemy obserwacje według rosnących wartości cechy i wskazujemy obserwację środkową, która jest medianą. Gdy szereg zawiera parzystą liczbę obserwacji, medianę liczymy jako średnią z dwóch środkowych.

Przykład:

    Dziesięć osób zapytano o czas, jaki poświęcają na dojazd do pracy. Otrzymano następujące dane w min: 35, 5, 20, 15, 30, 10, 60, 20, 45, 60.
    Szereg należy uporządkować rosnąco, a następnie znaleźć jego środek.

5,    10,    15,    20,    20,    30,     35,    45,     60,     60



    Oznacza to, że połowa badanych osób poświęca na dojazd do pracy nie więcej niż 25 min, a druga połowa nie mniej niż 25 minut.


W szeregu rozdzielczym, chcąc znaleźć wartość środkową, postępujemy następująco:

1.    Wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w środku szeregu, tzw. pozycję  mediany:

2.    W szeregu skumulowanym znajdujemy przedział zawierający pozycję mediany;
3.    W szeregu rozdzielczym punktowym medianą jest wartość cechy we wskazanym przedziale, natomiast w szeregu rozdzielczym przedziałowym wyznaczamy medianę, posługując się wzorem interpolacyjnym:



gdzie:
           xo – dolna granica przedziału zawierającego medianę;
          no – liczebność przedziału zawierającego medianę;
          Co – rozpiętość przedziału zawierającego medianę;
          N(Xi-1) – liczebność szeregu skumulowanego do przedziału      poprzedzającego przedział zawierający medianę.


Przykład:

Wyznaczanie mediany liczby nieobecności na zajęciach ze statystyki:

Przedział
i    Liczba nieobecności
w semestrze
xi    Liczba studentów
ni    Liczebności skumulowane
N (xi)
1
2
3
4
5
6    0
1
2
3
4
5    10
12
8
3
1
1    10
                         22 przedział Me
30
33
34
35
x    Razem    35    x

        

        Oznacza to, że połowa badanych studentów była nieobecna na zajęciach nie więcej niż jeden raz w ciągu semestru, a druga połowa nie mniej niż jeden raz.


Podsumowanie:

    Każda z omówionych miar średnich dostarcza innych informacji o rozkładzie cechy w badanej zbiorowości.

1.    Średnia arytmetyczna pokazuje średni poziom cechy przypadający na jednostkę zbiorowości;
2.    Dominanta wskazuje, jaki poziom cechy jest najczęściej spotykany w badanej zbiorowości;
3.    Mediana informuje, jaki poziom cechy posiada środkowa jednostka.





KWANTYLE

    Kwantyle są wartościami cechy występującymi u jednostki zbiorowości znajdujących się w określonym miejscu szeregu (np.: w połowie, w jednej czwartej, jednej dziesiątej).
    Najczęściej stosowane w analizie rozkładu cechy są następujące kwantyle:
1.    mediana (wartość środkowa) – Me;
2.    kwartyle  (wartości ćwiartkowe) – Qr,     gdzie r=1,2,3,4,
3.    decyle (wartości dziesiętne) - Dr,    gdzie r=1,2,…10.

    Zasady wyznaczania wszystkich kwantyli są podobne. W pierwszej kolejności jest ustalana pozycja odpowiedniego kwantyla, czyli kolejny numer przypisany jednostce zbiorowości znajdującej się w odpowiednim miejscu uporządkowanego szeregu. Dalszy sposób postępowania zależy od rodzaju szeregu, w którym są zapisane obserwacje cechy.
•    Szereg szczegółowy najpierw należy uporządkować w ciąg niemalejący, a następnie wskazać jednostkę zajmującą określoną pozycję. Jeżeli ustalona pozycja wypada dokładnie w środku między dwiema jednostkami – wartość kwantyla obliczamy jako średnią z tych jednostek.

•    W szeregu rozdzielczym po ustaleniu pozycji kwantyla, czyli numeru odpowiedniej jednostki, na podstawie szeregu liczebności skumulowanych odnajdujemy przedział, w którym ta jednostka się znajduje. Jeżeli mamy do czynienia z szeregiem rozdzielczym punktowym, to wartość cechy we wskazanym przedziale jest wartością szukanego kwantyla. Natomiast w szeregu rozdzielczym przedziałowym wartość kwantyla oblicza się za pomocą wzorów interpolacyjnych.


KWARTYLE

Kwartyle, czyli wartości ćwiartkowe, dzielą zbiorowość na 4 jednakowo liczne części.

Kwartyl pierwszy Q1 jest to taka wartość cechy, którą posiada jednostka znajdująca się w ¼ uporządkowanego szeregu. Mówimy, że 25% badanej zbiorowości ma wartości nie większe, (tzn. mniejsze lub równe) niż Q1, a 75% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż Q1.

Kwartyl drugi Q2 jest równy medianie (Me) a zatem połowa zbiorowości ma wartości cechy nie większe niż Q2, a druga połowa nie mniejsze niż Q2.

Kwartyl trzeci Q3 jest to wartość cechy, którą posiada jednostka znajdująca się w ¾ uporządkowanego szeregu. Stąd też 75% jednostek ma wartości cechy nie większe niż Q3, a 25% jednostek ma wartości nie mniejsze niż Q3.

    Kwartyle wyznaczamy w taki sam sposób jak medianę. W zależności od rodzaju analizowanego szeregu postępujemy następująco:
1.    W szeregach szczegółowych, po ich uporządkowaniu, bezpośrednio wskazujemy obserwacje zajmujące pozycje w ¼ i ¾ szeregu;
2.    W szeregu rozdzielczym punktowym wyznaczamy pozycje kwartyli jako:

        oraz        
    a następnie opierając się na liczebnościach skumulowanych znajdujemy     przedziały zawierające jednostki o ustalonej wcześniej pozycji. Wartość cechy     we wskazanych przedziałach jest odpowiednio wartością Q1 i Q3.
3.    W szeregu rozdzielczym przedziałowym po wyznaczeniu pozycji Q1 i Q3, opartej na szeregu skumulowanym, znajdujemy przedziały zawierające jednostki o pozycjach kwartyli, a następnie obliczamy kwartyle, posługując się wzorami interpolacyjnymi:




    gdzie:
                  - dolna granica przedziału zawierającego kwartyl;
              - pozycja kwartyna pierwszego;
              - pozycja kwartyna trzeciego;
              - liczebność szeregu skumulowanego do przedziału                              poprzedzającego przedział zawierający kwartyl;
                     - rozpiętość przedziału zawierającego kwartyl;
                  - liczebność przedziału zawierającego kwartyl.



DECYLE

    Decyle są to pozycyjne miary położenia, które dzielą szereg na dziesięć jednakowo licznych części. Liczebności każdej z tych części odpowiada 10% zbiorowości.
    Decyle wyznaczamy z szeregów rozdzielczych, postępując podobnie jak przy wyznaczaniu mediany i kwartyli. Wzór interpolacyjny dla dowolnego (r-tego) decyla ma postać:



    Jeżeli nie ma potrzeby, ograniczamy się do wyznaczenia pierwszego i dziewiątego decyla, one bowiem są wykorzystywane przy analizie różnych własności rozkładu. W pewnych przypadkach oblicza się wszystkie decyle. Odnosi się to głównie do analizy rozkładów wynagrodzeń.


Przykład:
Obliczyć kwantyle rozkładu wynagrodzeń za wrzesień 1992 r. pracowników gospodarki narodowej:

Wynagrodzenie
w mln zł

Odsetek
pracowników

Skumulowany
odsetek

Przedział
kwantyla
1,4 i mniej
1,4 – 1,8
1,8 – 2,2
2,2 – 2,6
2,6 – 3,0
3,0 – 3,4
3,4 – 3,8
3,8 – 4,2
4,2 – 4,6
4,6 – 5,0
5,0 – 5,4
5,4 – 5,8
5,8 – 6,2
6,2  - 6,6
6,6 – 7,0
7,0 i więcej    3,4
9,6
14,9
16,3
14,6
11,1
7,9
5,6
4,0
3,0
2,2
1,7
1,3
1,0
0,7
2,7    3,4
13,0
27,9
44,2
58,8
69,9
77,8
83,4
87,4
90,4
92,6
94,3
95,6
96,6
97,3
100,0   
D1
Q1 ; D2
D3 ; D4
Me ; D5
D6
Q3 ; D7
D8


D9





Razem    100,0    x    x

A. Mediana
poz Me = 0,5(100+1) = 50,5
Me = 2,6 + (50,5-44,2)0,4/14,6 = 2,773 mln zł
Połowa pracowników zarabiała nie wiecej niż 2,773 mln zł, a druga połowa zarabiała nie mniej niż 2,773 mln zł.


B. Kwartyl pierwszy
poz Q1 = 0,25(100+1)=25,25
Q1 = 1,8 + (25,25 – 13,0) 0,4 / 7,9 = 2,129 mln zł.
Jedna czwarta pracowników zarabiała nie więcej niż 2,129 mln zł, a trzy czwarte zarabiało nie mniej niż 2,129 mln zł.

B1. Kwartyl drugi = mediana

B2. Kwartyl trzeci
poz Q3 = 0,75 (100+1) = 75,75
Q3 = 3,4 + (75,75 – 69,9) 0,4 / 7,9 = 3,696 mln zł.
Trzy czwarte pracowników zarabiało nie więcej niż 3,696 mln zł, a jedna czwarta zarabiała nie mniej niż 3,696 mln zł.

C. Decyle
Decyl pierwszy:
poz D1 = 0,1(100+1) = 10,1
D1 = 1,4 + (10,1-3,4) 0,4 / 9,6 = 1,679 mln zł.
10% pracowników zarabiało nie więcej niż 1,679 mln zł, a 90% zarabiało nie mniej niż 1,679 mln zł.

Decyl drugi:
poz D2 = 0,2(100+1) = 20,2
D2 = 1,8 + (20,2-13,0) 0,4 / 14,9 = 1,993 mln zł.
20% pracowników zarabiało nie więcej niż 1,993 mln zł, a 80% zarabiało nie mniej niż 1,993 mln zł.

Decyl trzeci:
poz D3 = 0,3(100+1) = 30,3
D3 = 2,2 + (30,3-27,9) 0,4 / 16,3 = 2,259 mln zł.
30% pracowników zarabiało nie więcej niż 2,259 mln zł, a 70% zarabiało nie mniej niż 2,259 mln zł.

Decyl czwarty:
poz D4 = 0,4(100+1) = 40,4
D4 = 2,2 + (40,4-27,9) 0,4 / 16,3 = 2,507 mln zł.
40% pracowników zarabiało nie więcej niż 2,507 mln zł, a 60% zarabiało nie mniej niż 2,507 mln zł.

Decyl piąty = mediana = kwartyl drugi
Decyl szósty:
poz D6 = 0,6(100+1) = 60,6
D6 = 3,0 + (60,6-58,8) 0,4 / 11,1 = 3,065 mln zł.
60% pracowników zarabiało nie więcej niż 3,065 mln zł, a 40% zarabiało nie mniej niż 3,065 mln zł.

Decyl siódmy:
poz D7 = 0,7(100+1) = 70,7
D7 = 3,4 + (70,7-69,9) 0,4 / 7,6 = 3,441 mln zł.
70% pracowników zarabiało nie więcej niż 3,441 mln zł, a 30% zarabiało nie mniej niż 3,441 mln zł.

Decyl ósmy:
poz D8 = 0,8(100+1) = 80,8
D8 = 3,8 + (80,8-77,8) 0,4 / 5,6 = 4,014 mln zł.
80% pracowników zarabiało nie więcej niż 4,014 mln zł, a 20% zarabiało nie mniej niż 4,014 mln zł.

Decyl dziewiąty:
poz D9 = 0,9(100+1) = 90,9
D9 = 5,0 + (90,9-90,4) 0,4 / 2,2 = 5,091 mln zł.
90% pracowników zarabiało nie więcej niż 5,091 mln zł, a 10% zarabiało nie mniej niż 5,091 mln zł.













2. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO LICZENIA
2.1.     Wyznaczyć medianę powierzchni sklepów w mieście „Z”:

Przedział
i    Powierzchnia w m2
xi    Liczba sklepów
ni    Liczebności skumulowane
N (xi)
1
2
3
4
5
6    30-49,9
50-69,9
70-89,9
90-109,9
110-129,9
130-149,9    9
19
23
14
9
7    9
28
51
65
74
81
x    Razem    35    x

2.2.    Obliczyć kwartyle dla rocznej sprzedaży uzyskanej przez przedstawicieli   handlowych w pewnej firmie:

Sprzedaż w tys. zł    Liczba
przedstawicieli    Odsetek przedstawicieli    Dystrybuanta empiryczna
0-100    2    4,0    4,0
100-200    4    8,0    12,0
200-300    13    26,0    38,0
300-400    19    38,0    76,0
400-500    10    20,0    96,0
500-600    2    4,0    100,0
razem    50    100,0    x

2.3.     Motocyklista przez pierwsze dwie godziny podróży jechał z przeciętną prędkością 70 km/h, a przez trzy pozostałe godziny z przeciętną prędkością 60 km/h. Jaka była średnia prędkość motocyklisty podczas tej podróży?

2.4.     Mediana wieku zatrudnionych w pewnym przedsiębiorstwie zawarta jest w przedziale 40-50 lat i wynosi 44 lata. W przedziale tym mieści się 25 pracowników. W zbiorowości zatrudnionych w tym przedsiębiorstwie 40 pracowników liczy mniej niż 40 lat. Ilu pracowników jest zatrudnionych w tym przedsiębiorstwie.

2.5.     Mediana zarobków 120-osobowej grupy pracowników znajdowała się w przedziale 1000-1500 zł, do którego należało 20 pracowników i wynosiła 1300 zł. Ilu pracowników w tym przedsiębiorstwie zarabiało mniej niż 1500 zł?

Offline

 

Stopka forum

RSS
Powered by PunBB
© Copyright 2002–2008 PunBB
Polityka cookies - Wersja Lo-Fi


Darmowe Forum | Ciekawe Fora | Darmowe Fora
https://lukaszsurma.pl/ ambele.pl